A három olimpián szerepelt Felkai László 1960-as és 1968-as bronzérme mellett 1964-ben Tokióban olimpiai bajnok lett a válogatottal (hat mérkőzésen hat gólt szerzett), mi több, abban az évben őt választották meg a legjobb vízilabdázónak Magyarországon. Négy évvel később is ő lett hazánk legjobbja, Mexikóvárosban nyolc meccsen 24 gólt szerzett. 120-szor szerepelt a válogatottban, 1962-ben Európa-bajnok lett.
Pályafutása nagy részét a Ferencvárosban töltötte, 1950-től 1970-ig játszott a zöld-fehéreknél, négyszer, 1962-ben, 1963-ban, 1965-ben és 1968-ban magyar bajnok lett. Utána még hét évig játszott a Bp. Spartacusban, majd edző lett. A Fradit is edzette, ám igazán jól a gyerekek mellett érezte magát: 1982-t követően számtalan ifjú pólóst tanított meg a sportág alapjaira a KSI-ben, a Vasas-ban, a BVSC-ben, a Tungsramban és a Honvédban.
Az 1960-as olimpián 200 méteres mellúszásban is indult.
Felkai László temetéséről a család és a Magyar Vízilabda Szövetség a későbbiekben intézkedik – írta a waterpolo.hu.