Csimiskjan a szovjet válogatott tagjaként 1952-ben, Helsinkiben pehelysúlyban (60 kg) érdemelt ki ötkarikás aranyérmet, emellett többször állt dobogón világ- és Európa-bajnokságon egyaránt. Vb-aranyat kétszer, Eb-elsőséget hatszor érdemelt ki, és 11-szer állított fel világcsúcsot. 2003-ban szülővárosa, Tbiliszi díszpolgára lett, megkapta a Becsületrendet, és elnyerte a „20. század legjobb georgiai súlyemelője” címet is.