A 32 éves, 13-szoros válogatott játékos – a hajdúsági klub honlapjának beszámolója szerint – több száz mérkőzésen lépett jégre a fehérorosz bajnokságban. 2012-ig nevelőegyesületében, a HK Vityebszk gárdájában játszott, majd négy idényt lehúzott a Metallurg Zlobinban, de két meccs erejéig szerepet kapott a KHL-ben is a Dinamo Minszk színeiben. A 2015 és 2017 közötti időszakot is a fővárosban töltötte, 20 pontot gyűjtött a Junoszty játékosaként. Ezt követően volt a Dinamo Mologyecsno, a Neman Grodno és a Gomel hokisa. 2021-ben először állt légiósnak, és az ukrán bajnokságban töltött el egy idényt a Szokil Kijev együttesében. Tavaly visszatért szülővárosába, és öt meccsen pályára lépett a HK Vityebszkben.
A jelenlegi idényt a kazah bajnokságban kezdte, három meccset játszott a Bejbarisz Atirauban, onnan igazol Debrecenbe, ahol Mihail Bucskinnal immár két fehérorosz hokis lesz a keretben.
Az Erste Ligához kapcsolódó fegyelmi hír, hogy Konsta Mesikamment két, Láday Tamást egy meccsre tiltották el. A címvédő Gyergyói HK játékosa, Mesikammen sérülésveszélyes megmozdulása és agresszív fellépése miatt kapta a szankciót, miután a DVTK Jegesmedvék vasárnapi 6–0-s legyőzése során – a liga fegyelmi testületének indoklása szerint – „egy csapattársát ért szabálytalanságot torolt meg, botját magasra emelve közvetlen ütést mért ellenfele nyakára, majd kesztyűit eldobva verekedést kezdeményezett vele. Az esetnél váratlan támadóként és agresszorként lépett fel.”
A Sport Club Csíkszeredát erősítő Láday a Budapest JA elleni – hazai környezetben 6-4-re elvesztett – ugyancsak vasárnapi összecsapáson összeverekedett Dóczi Zsomborral, majd a játékvezetők közbelépésére a felek a verekedést befejezték. „Láday Tamás a büntetőpad elhagyását követően obszcén, vulgáris módon kritizálta a játékvezetői tevékenységet” – szól az indoklás.