Kvekveskiri felesége kérésére nem igazol az SZTK-hoz, és keres hazájához közelebbi csapatot.
Az új állomás a 2011–2012-es idény grúz labdarúgóbajnoka, a Zesztafoni lehet. A kék-fehérek korábban a Győri ETO ellenfeleként már megfordultak Magyarországon, az UEFA-kupa első selejtezőkörében akkor 3–2-es összesítéssel az Egervári Sándor vezette győriek jutottak tovább.