Kubala László Budapesten született, és pályafutását a Ganz ifjúsági csapatában kezdte. 1945-ben, a háború után a Ferencváros játékosa lett, de nem sokáig maradt a zöld-fehéreknél, ugyanis elhagyta az országot, Csehszlovákiába került.
Pozsonyban folytatta pályafutását, a Slovan Bratislava játékosa lett, és elvette edzőjének lányát, Anna Viola Daucikot. Bekerült a csehszlovák válogatottba is, majd 1948-ban visszatért Magyarországba.
Itt a Vasas játékosa lett, és háromszor a válogatott mezt is felhúzhatta. Azért csak ennyiszer, mivel 1949 januárjában újra távozott szülőhazájából.
A FIFA eltiltása után a Barcelona mezében térhetett vissza a pályára, és remek játékával hamar a szurkolók kedvence lett. 1951-től 1961-ig volt a Barca játékosa, majd két évig edzője is. Később visszatért a pályára, az Espanyolnál és az FC Zürichnél működött játékosedzőként.
Később edzőként is sikeres volt, a spanyol válogatottat 11 évig vezette. 1999-ben az egykori remek játékost a Barcelona 100. születésnapján a XX. Század legjobb Barca-futballistájának válsaztották. 2002. május 17-én hunyt el.
Halála után is komoly kitüntetést kap, hiszen nem mindennapi, hogy utcát neveznek el egy klasszisról. A Kubala Lászlóról elnevezett utca a Nou Camp stadion közelében található. Ő a harmadik spanyol válogatott labdarúgó, akinek utca örökíti meg az emlékét: korábban Josep Samitier és Ricardo Zamora részesült ebben a kitüntetésben.