Az 1954. szeptember 17-én, Budapesten született Kelemen Mártát diákévei Kispesthez, a Wekerletelephez kötötték, majd a KSI toborzója után maradt a tornateremben. Kelemen Márta a tornasportot Csányi Rajmundnál kezdte, később Fazekas Lászlónál és Fazekas Lászlónénál, illetve az olimpiai bajnok Kertész Alice mesterénél, Ecseki Kálmánnál is megfordult.
Kelemen Márta az országos mesterfokú bajnokságon 1969-től szállította a dobogós eredményeket, melynek köszönhetően a válogatottba is bekerült, s egészen 1977-ig volt tagja – írja az olimpia.hu.
Az egykori tornász a KSI versenyzőjeként került be az 1972-es müncheni olimpián bronzérmet szerző, Békési Ilona, Császár Mónika, Kelemen Márta, Kéry Anikó, Medveczky Krisztina, Nagy Zsuzsanna összeállítású női tornacsapatba.
Kelemen négy évvel később, immár a Honvéd sportolójaként jutott ki a montreáli olimpiára, ahol összetettben ismét pontszerző lett a csapattal, de most az érem elmaradt, s „csak” negyedik helyen végeztek.
Kelemen Márta legjobb eredménye az 1972-ben elért kilencedik hely felemáskorláton. Az 1970-es ljubljanai vb-n a csapattal hatodik helyen zárt.
Kelemen Márta sportolói pályafutása után 1981-ben szerzett szakedzői diplomát és 2003 óta a KSI edzője.
Férje Rab Tibor, a Ferencváros egykori válogatott labdarúgója, fiuk atletizált, leányuk válogatott díjlovas volt, testvére asztaliteniszezett.