Szíjártó László 1971 és 1973 között a Szanyi Dózsa csapatában kezdte a labdarúgást. 1973-ban került a Rába ETO-hoz. Az élvonalban 1979. június 2-án mutatkozott a Tatabányai Bányász ellen, csapata 2–1-re kikapott. 1979 és 1986 között 104 bajnoki mérkőzésen szerepelt győri színekben és egy gólt szerzett.
Verebes József irányításával két-két alkalommal bajnok (1981–1982, 1982–1983) és ezüstérmes (1983–1984, 1984–1985), egyszer bronzérmes (1985–1986) lett a csapattal.
Egyszeres Magyar Kupa-győztes (1979), egyszer pedig a második helyig jutott (1984).
Az utolsó mérkőzésén az Újpesti Dózsával 1–1-es döntetlent ért el a csapata. 1987 és 1989 között az osztrák SK Rum 1965 csapatában szerepelt.
Két évvel ezelőtt arról beszélt, hogy súlyos betegsége miatt életmentő műtéten esett át.