A labdarúgó 1930-ban született Budapesten, és a kommunisták elől menekülve már 19 évesen kikerült Olaszországba, amelyhez – egy-egy kolumbiai és franciaországi szezont leszámítva – pályafutása kötődött. Az Udinese honlapjának beszámolója szerint Szőke halálával a fantasztikus 1954–1955-ös csapat egyik utolsó túlélőjét veszítette el, amely végül második helyen végzett a Serie A-ban a Milan mögött. A Lazi becenévre hallgató futballista egyik legjobbja volt a friuliaknak abban a szezonban, mindössze két mérkőzést hagyott ki az idényben.
A középpályás az Udinese után a Triestinában és a Bresciában játszott, végül sérülése miatt előbbi csapattól vonult vissza 1962-ben. Szőke a labdarúgó-pályafutását követően kereskedelmi területen helyezkedett el, de az Udinesétől sosem szakadt el végleg. Felesége, Cornelia Bertoli nagybátyja, Giuseppe Bertoli a klub első Serie A-s korszakának elnöke volt, egy ideig maga Szőke is dolgozott a klubnál és szakíróként is kötődött a futballhoz.
A nyolcvanas években és a kilencvenes évek első felében a Nemzeti Sport olaszországi tudósítójaként is dolgozott Szőke László.