Szara Kliszura röplabdás karrierje 2006-ban indult a Szpartak Szubotica gárdájában. Négy szezonon át játszott Szabadkán, ahol együtt dolgozott a Kaposvár jelenlegi mesterével is. 2009-ben került be a szerb utánpótlás-válogatottba, és ezüstérmet nyert az Európa- és a világbajnokságon, illetve különdíjakat is átvehetett teljesítménye elismeréseként. A sportolónő 2010-ben, 18 éves korában a Vizura Beograd együttesébe igazolt, és két évet töltött el ebben a klubban. Az együttes ezüstérmet nyert a bajnokságban és a kupában is. A 188 centis röplabdázó 2012-ben kezdett külföldön játszani. Elsőként az olasz élvonalban szereplő Foppapedretti Bergamo szerződtette, és két évig erősítette az itáliaiakat. A 2012–2013-as évadban a csapat az olasz bajnokság harmadik helyén végzett. Klisura 2011 és 2013 között tagja volt a szerb felnőtt válogatottnak is.
2014-ben csatlakozott először a román CSM Târgoviște gárdájához, 2015-ben az orosz Jenyiszej Krasznojarszk következett a sorban. 2017-ben pedig visszament Romániába, és a bajnokság harmadik helyét könyvelhette el társaival. Egy érdekes kitérő következett ezután: Kliszura a Fülöp-szigetekre szerződött, csatlakozott a Foton Tornadoes röplabdaklubhoz, és a helyi Szuper Ligában a harmadik helyen végzett. A kaposváriak klasszis játékosa rekordot állított fel azzal, hogy 41 pontot szerzett az egyik mérkőzésen. Egy szezonnal később, egy másik Fülöp-szigeteki csapattal, a Cocolife Asset Manager együttesével negyedik lett, itt már ő volt a csapatkapitány, és a legjobb ütő díját is elnyerte.
Szara Kliszura 2018-ban visszatért Európába, harmadszor is csatlakozott a CSM Târgoviște-hoz, és a 2018–2019-es évad végén a bajnokság bronzérmét vehette át. Ráadásként ő szerezte a ligában a legtöbb pontot és a legtöbb ásznyitás is az ő nevéhez fűződött. A csapat szerepelt a CEV-kupában is. A szerb röplabdázó 2019 nyarán, nagy meglepetésre a magyar Extraliga-újonc Kaposvár ajánlatát fogadta el. A folyamatosan gyarapodó szurkolótábor tagjai hamar megismerték képességeit és meg is kedvelték a játékost.
„Szarát nemcsak az edzéseken és a mérkőzéseken nyújtot teljesítménye, hanem az alázata, a szerénysége is a legjobbak közé emeli – fogalmazott az 1. MCM-Diamant Kaposvár ügyvezető elnöke, Orosz Ferenc. – Igazi vezére és megbecsült egyénisége volt a csapatunknak, és ő is úgy érezte, hogy jó lenne befejezni azt, amit tavaly elkezdtünk, de a koronavírus-járvány miatt nem tudtunk befejezni. Az elmúlt hetekkben is folyamatosan tartottuk vele a kapcsolatot, és miután sikerrel egyeztettük a szakmai és az anyagi elképzeléseket, megszületett a megállapodás.”
„Már tavaly is nagy kihívásnak tartottam a játékot a magyar bajnokságban, hiszen korábban is sok jót hallottam a fejlődő női pontvadászatról. Külön öröm volt számomra, hogy ismét együtt dolgozhattam Szasa Nedeljkovics vezetőedzővel. Sajnálom, hogy a rájátszásban nem mutathattuk meg, hogy mit tudunk, de bízom benne, hogy a következő évad is jól alakul majd. Bár voltak más ajánlataim Magyarországról is, úgy érzem, Kaposvár már az egyik otthonom, így szívesen térek majd vissza ebbe a városba, ebbe a csapatba” – nyilatkozta a klasszis játékos, aki az új évadban is az 1-es mezben szerepel majd együttesében.