Harris 1958-ban lett a Burnley játékosa, egy évvel később már a felnőttek között is bemutatkozott. A klub színeiben 313 mérkőzésen lépett pályára, és több mint 70 gólt szerzett. 1967-ben (a Burnleynél töltött kilenc év után) a Sunderlandhez igazolt, amelyben 126 bajnokin 16 gólt szerzett.
A „Bombázó” becenévre hallgató Harris 1966 januárjában az angol válogatottban is pályára léphetett – épp a sérült Bobby Charlton helyére ugrott be.
A kedden elhunyt Harris 73 éves volt.