Az orosz autóversenyző 2014-es F1-es debütálása óta a Red Bull kötelékébe tartozott, az első szezonjában a Toro Rossónál, a másodikban már a Red Bullnál versenyzett. 2016-ban szezon közben került vissza a Toro Rossóhoz, amelytől a 2017-es szezon során végleg kitették.
A Williamsnél megpróbálta megszerezni Felipe Massa üresen maradt versenyzői állását, de Robert Kubicához hasonlóan alulmaradt a sokkal több pénzt magával hozó Szergej Szirotkinnal szemben.
Ezt követően került kapcsolatba a Ferrarival, amelynél Red Bull-os elődje, Sebastian Vettel és a finn Kimi Räikkönen munkáját segíti. A kapcsolatuk nem volt mindig felhőtlen, 2016-ban az Orosz Nagydíjon történt rajtkaramboljuk után Vettel nevezte el torpedónak Kvjatot, akit ezt követően küldtek vissza a Toro Rossóhoz.
A 2016-OS OROSZ NAGYDÍJ RAJTBALESETE