Várkonyi László, azaz Konyi már a legelső magyar nyolcezres expedícióban részt vett, 1987-ben, 30 esztendősen ott volt a Sisapangma-csapatban, amelynek eredménye a hazai himalájai hegymászás kiemelkedő teljesítménye volt még akkor is, ha nem tudni biztosan, honfitársaink elérték-e a 8027 méter magas főcsúcsot vagy sem. Mindenesetre október 7-én Várkonyi is ott állt fent a csapat által megmászott legmagasabb ponton.
Érdekes módon a Magas-Tátrát, a Kaukázust és az Andokot is bejáró alpinista életének egyik leginkább meghatározó pontja nem az volt, amikor 1990-ben feljutott egyetlen nyolcezrese, a 8201 méter magas Cso-Oju tetejére, hanem amikor hat évvel később tagja lett az első magyar Mount Everest-expedíciónak.
A legmagasabb pontot ugyan senki sem érte el a csapatból, és akkor történt a másik oldalon a hegy történetének addigi legnagyobb katasztrófája is, Konyi azonban már első alkalommal végérvényesen beleszeretett az Everestbe, amelynek néhány éven belül jelét is adta.
Egyéni szervezésben 1999-ben és 2000-ben is visszament a föld legmagasabb hegyéhez.
Később, 2003-ban még részt vett a Magyarok a világ nyolcezresein Gasherbrum-expedíciójában is, de ezen kívül ideje, energiája és képzelete szinte száz százalékát az Everest kötötte le. Összesen nyolc alkalommal tért vissza, és mivel 2001-től, majd párban 2007-től együtt mászott Klein Dáviddal, nagy hatással volt fiatalabb mászótársára, aki eddig kilencszer próbálkozott. Ebből háromszor (2007, 2008, 2010) kettesben vágtak neki a csúcsnak, szigorúan pótlólagos oxigén nélkül mászva, ami eddig alig több mint kétszáz embernek sikerült.
A mai napig Várkonyi László a palack nélküli hegymászás magyar rekordere az Everesten, 2002 tavaszán a nepáli normál útvonalon mászva a Déli-csúcsig, 8750 méter magasra jutott. Erőss Zsolt egyébként ugyanakkor jutott fel a csúcsra, ő azonban az utolsó szakaszon már oxigént használt.
Konyi és Klein 2007-ben is magasra jutott, 8600 méterről fordultak vissza a tibeti oldalon, mert úgy ítélték meg, nem tudják a tervezett időben elérni a csúcsot. És bár Klein visszatért az alaptáborba, Várkonyi még ekkor sem adta fel, még egyszer nekirugaszkodott, de 8500 méteren a szél és fagyási sérülések miatt feladta a kísérletet.
A páros 2008-ban újra útra kelt, de – a pekingi olimpia éve lévén – különösen nehéz dolguk volt, Kína ugyanis mindenkit kiutasított. Átmentek a nepáli oldalra, de onnan sem tudtak elindulni május 10-ig, ami normális esetben már a csúcsmászás ideje szokott lenni. A kevés idő miatt nem is volt reális esélyük a csúcstámadásra, végül 7950 méterig jutottak.
Két év szünet után, 2010-ben jött Konyi utolsó, tragikus expedíciója. Április 26-án éppen az Északi-nyeregből ereszkedtek le az Everest északi oldalán, hétezer méteres tengerszint feletti magasság körül járhattak, Klein Dávid haladt elöl, Konyi mögötte, amikor a mellettük magasodó jégfal leomlott, amely Kleint elsodorta, Várkonyit viszont maga alá temette. A baleset olyan helyen és olyan szituációban történt, amit nem lehetett elkerülni, az 54 éves Konyi holttestét egy hónap múlva találták meg 6800 méteren.
Klein Dávid mentése a jégfal leomlása után, amely maga alá temette Várkonyi Lászlót: