A Ferencváros és az angol Bristol City utánpótlásában is nevelkedett kapus 2010-ben szerződött a zöld-fehérektől a görög Olympiakoszhoz, amelynél 73 tétmérkőzésen lépett pályára – öt bajnoki címet és három Görög Kupát nyert.
Ezt követően 2015-ben a Getaféhoz igazolt, de ott nem találta meg számításait, csupán két találkozón jutott szóhoz, így egy évvel később a Greuther Fürthhöz szerződött. Németországban két év alatt 41 összecsapáson szerepelt, mielőtt 2018-ban az Atromitoszhoz került, az athéniaknál eddig 49-szer léphetett pályára.
Megyeri szerződése az idény végén lejár, így szabadon igazolhatóvá válik, görög források szerint pedig korábbi kapusedzője, Alekosz Rantosz (2005 és 2017 között az Olympiakosznál dolgozott) miatt a volt Vasas-tréner Michael Oenning vezette Ariszhoz igazolhat (amely Korhut Mihályt is foglalkoztatja) – méghozzá két évre.
Hrutka János, az egyszeres magyar válogatott kapus menedzsere a Nemzeti Sport Online-nak elmondta, nem történt hivatalos megkeresés a játékos ügyében.